Poursuivant ce processus, on peut définir, s`il existe, le dérivé du nième comme la dérivée du dérivé (n-1) th. Trouver $ dsint{x ^ 3 Over (3-2x) ^ 5} , DX. Comme avec la première partie, nous ne pouvons pas simplement différencier le numérateur et le dénominateur et le remettre ensemble comme une fraction. C`est donc une intégrale doublement inappropriée. La troisième preuve est pour la règle générale, mais suppose que vous avez lu la plupart de ce chapitre. L`expression ci-dessus est lue comme ”la dérivée de y par rapport à x”, ”dy par DX”, ou ”dy over DX”. Dans ce problème, nous allons devoir rationaliser le numérateur. La même chose est vraie au sujet de la différabilité. Notez que nous avons réécrit le dernier terme dans le dérivé de retour comme une fraction. Dans la première section de ce chapitre, nous avons vu la définition de la dérivée et nous avons calculé un couple de dérivés en utilisant la définition. Supposons que l`erreur dans cette formule d`approximation linéaire est délimitée par un temps constant | | v | |, où la constante est indépendante de v mais dépend continuellement d`un. Nous pouvons simplifier cette expression rationnelle cependant comme suit.

Si elle converge, nous disons que la fonction est différable à a. Si y = f (x) est une variable dépendante, le sous-script x est souvent attaché au D pour clarifier la variable indépendante x. La dérivée de y par rapport à x à a est, géométriquement, la pente de la ligne tangente au graphe de f à (a, f (a)). Une intégrale inappropriée peut diverger en ce sens que la limite qui la définit peut ne pas exister. Cependant, toute limite supérieure finie, disons t (avec t > 1), donne un résultat bien défini, 2 arctan (√ t) − π/2. De cette façon, nous obtenons en fait une prescription qui attribue des nombres à tous les points de G, en d`autres termes, nous obtenons une fonction. Pour des fonctions plus complexes en utilisant la définition de la dérivée serait une tâche presque impossible. Suite à cette règle vous fera économiser beaucoup de chagrin à l`avenir. Nous allons essayer ce qui suit. Nous pouvons voir à partir de la forme factorisée de la dérivée que la dérivée sera zéro à (t = 2 ) et (t = 5 ).

Pour voir comment cela fonctionne, supposons que v = λU. Remarquez que chaque terme dans le numérateur qui n`a pas eu un h en elle annulée et nous pouvons maintenant factoriser un h sur le numérateur qui annulera contre le h dans le dénominateur. Donc, annulez le h et évaluez la limite. Ils ne mesurent pas, cependant, directement la variation de f dans toute autre direction, comme le long de la ligne diagonale y = x. La liste incomplète suivante donne certaines des fonctions les plus fréquemment utilisées d`une seule variable réelle et de leurs dérivés. Théorème. Déterminez si $ DS x ^ 2-x-$1 facteurs, et factorisez-le si possible. Ainsi, avant de différencier nous devons d`abord réécrire le deuxième terme dans une forme que nous pouvons traiter.

Cette dernière notation généralise pour donner la notation f (n) {displaystyle f ^ {(n)}} pour le Nème dérivé de f {displaystyle f} – cette notation est très utile lorsque nous souhaitons parler de la dérivée comme étant une fonction elle-même, comme dans ce cas la notation Leibniz peut devenir encombrants. Parfois appelée notation première, [5] l`une des notations modernes les plus courantes pour la différenciation est due à Joseph-Louis Lagrange et utilise la marque principale, de sorte que la dérivée d`une fonction f {displaystyle f} est notée f ′ {displaystyle f`}. Parce que nous avons également besoin d`évaluer les dérivés à l`occasion, nous avons également besoin d`une notation pour l`évaluation des dérivés lors de l`utilisation de la notation fractionnaire. Bien sûr, la pente que nous avons obtenue n`est pas exactement la même que la pente de la ligne tangente. Par exemple, la fonction 1/x a l`ensemble de tous les nombres réels en dehors de 0 comme son domaine. Il détermine une troisième équation approximative en substituant à la fois w pour v et a + v pour a. Une intégrale inappropriée converge si la limite la définissant existe.

Exemple de dérivation impropre